Aequatio planum: Quomodo facere? Planum aequationes types

Quod spatium planum fieri potest itineribus in libris ritualibus variarum (nemo dat quod vector, ac vector duo puncta, trium punctorum, etc.). Hoc est in mente, planum aequatio habeat diversas species. Item per aliquas condiciones parallel sit planum perpendiculare secantis, etc. Et haec loqueris de hoc articulus. Nos autem, ut discas aequatio generalis non in planum modo.

Quod ex forma normalis equation

_III R putant esse in _spatio, quod de prima philosophia est quadrangula rectangula sub XYZ. Preterea vector α, quod est dimisit a carcere per punctum O in fine trahunt planum P α Vector, quae sit perpendicularis.

Sit P = Q ad puncturn quodlibet curvw utcumque (x, y, z). In radio vectore litteras a puncto Q signum p. In longitudinem aequat vector p = α = IαI et ʋ (cosα, cosβ, cosγ).

Postest vector pertinent ad directionem vector α. α, β, γ - et angulos, ex quibus formatae sunt, inter vector et positivum ʋ spatium directiones axium ipsarum x, y, z resp. Proiectura autem de loco in quo constant vector QεP ʋ est aequalis sit p (p, ʋ) = p (r≥0).

Superior aequatio habebit sensum, p = 0. Solum n planum in hoc casu non transire punctum O (α = 0): quo natura suum ortum et unitas vector ʋ, dimisit a puncto O, erit perpendicularis super P: tamen eius partem, quod significat, quod vector ʋ determinatae ad signum. Prior aequatio plano P cos forma exprimitur. Sed intuitu huiusque situm est,

P est aequalis, vel major 0. Invenimus planum normalis datam formam.

Aequatio

Si aequatio inter coordinatas multiplicare non aequalis numeri, definit ipsum aequatio aequivalet huic plano. Non erit forma sequenti:

Ecce A, B, C - alium de eodem nullus est numerus. Substitutis prodibit haec aequatio generalis appellatur forma in planum.

Aequationes planorum. casibus speciali

Potest plerumque cum additional conditionibus equation est immutabile. Considerans aliquos ex illis.

Coefficiens vero A ponatur planum est 0. Haec indicat parallel ad praefinitum axis Ox. In hoc casu aequatio mutat forma: Wu + cz + D = 0.

Et similiter forma et variabilis pro aequatione sequenti condiciones:

• Uno modo, si B = 0, aequatio ax + cz + D = 0 mutare, quod non indicant axis ad parallelismum Oy.
• Secundo, si C = 0, aequatio transformatur, per Ax + + D = 0, hoc est dicere de parallel ad praefinitum axis Latin.
• Tertium, si D = 0, aequatio ax + quod non videtur per + cz = 0, quae secet planum O contra, quia iam (ad originem).
• Quartum, si A = B = 0, aequatio 0 = mutationes Cz + D, ut probare quod parallelismus Oxy.
• Quintus, si C = B = 0, erit ax + D = 0, quae planum est non parallela eft ipfi Oyz.
• Numeros etiam, si C = A = 0, aequatio hanc induet formam de Wu + D = 0, i.e., et referre ad parallelismum Oxz.

Aequationis formam in segmenta

In quo casu numeris A, B, C, D, ex nulla alia, forma aequationum (0) potest esse quod sequitur:

x / y + a / b + z / c = I,

in quibus sit = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Nos accipere in planum exitum equation est in terram suam. Est autem considerandum quod secabit planum coordinatarum x, cum axis in puncto (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), et Oz - (0,0: s).

Datur igitur aequatio x / y + a / b + z / c = I, est difficile ad visualize in collocatione planum ad a proprietates iam antea de prima philosophia.

Coordinatae normalis vector

A normalis ad planum P n vector est coordinatas, quae ad universalem aequationem exhauriendam coefficientes habiturae sint ab planum, n i.e. (A, B, C).

Duis ut coordinatae determinare n sufficit scire generali plano.

Ubi per aequationem inter fegmenta, quae est forma x / a + y / b + z / c = I, est cum usura generali aequatione, quae scripta ordinata aliqua normalis vector planum datum trahatur: (I / a + I / b + I / c).

Sciendum est autem, quod vector normalis ad auxilium solvere variis problems. Communia problemata quaedam probationem et maxime erecta plana aut negotii invenire planis angulis rectis lineis inter planis.

Typus equation et iuxta planum normalis vector coordinatae puncti

N vector A then CR est perpendicularis ad planum datum, nomine normalis (normalis) in formis antecedenter statutis planum.

Item esto quod ordinare in spatio (quadrangula rectangula de prima philosophia) Oxyz posuit:

• Mₒ in loco coordinatarum (hₒ, uₒ, zₒ);
• n = A + B * i * j vector nulla + C * k.

Vos postulo ut aequatio ad quarti ordinis, qui transit per planum illud perpendiculares super Mₒ normalis n.

In aliquo puncto spatii volumus eligere et M 'pro (x, y, z). Sit radius vector cuiusque punctum M (x, y, z), erit r = x * i + y * j + z * k et radio vectore de loco Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i * uₒ zₒ + k * * j. Quod autem punctum M pertinent ad planum datum: si vector MₒM perpendicularis super vector n. Non scribo ad diapente cum usura uber conditio orthogonalitatis valet:

[MₒM, n] = 0.

Cum MₒM rₒ = r, plane sicut vector aequatio haec

[R - rₒ, n] = 0.

Haec aequalitas etiam in alia effigie apparere. In hoc producto proprietates diapente converterentur sinistra aequationis. [R - rₒ, n] = [r: n] - [rₒ, n]. Si [rₒ, n] significat quod s, prodibit sequens aequatio [r: n] - a = 0 seu [r: n] = s, quae exprimit constantiam ubi incastraturae laterum in normalis vector radii, vectors de punctis datis quae pertinent planum.

Iam vos can adepto coordinatum genus memoria planum nostris vector equation [r - rₒ, n] = 0 Quum r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k et n * i = A + B + C * j * k, habebimus:

Fit ergo aequatio, quae nos habere planum transiens per punctum perpendicularibus ad normalis n:

A * (x hₒ) B * + (y uₒ) * S (z-zₒ) = 0.

Typus iuxta planum ac coordinatas duorum punctorum of equation vector planum ctum

Preterea duobus quibuscumque puncta M '(x,, y,, z') et M '(x ", y", z "), tum in vector (a', a ', a ‴).

Possimus iam antea scribere equation qui transit per planum existentium punctum M et M 'et per punctum M coordinatis (x, y, z) parallel data est a vector.

{Sic M'M vector x = x,, y, y '; zyz •'} et M '{x = M' x ', y, y,, z' z 'sit plano cum vector} a = (a ', a', a ‴), id est (M'M M 'M: a) = 0.

Aequatio nostra sit planum in spatio et sic ab huius tamquam:

Type of equation planum transgressus trium punctorum

Lets 'narro nos habere tria puncta: (x,, y,, z'), (x,, y,, z '), (x ‴ ‴ habueris, ‴ z), quae non pertinent ad eandem lineam. Necesse est scribere equation est planum transiens per tria puncta et mundabitur sanctuarium. geometricis planum est doctrina quaedam allegat quod tale est, hoc modo est unus tantum. Cum id planum secet in puncto (x,, y,, z '), ut eius aequatio sit forma;

Hic B, C simul nihil aliud. Duo puncta planum secet datum etiam (x ", y", z ') et (x ‴, ‴ y, z ‴). Hac de hoc ferretur condiciones

Iam nos can partum a uniformis systema aequationum (linearibus) de indeterminatarum u, v, w;

In nostro casu x, y et z punctum stat quod satiat aequatio (I). Cum aequatio (I) et systematis aequationum (II) et (III) systematis aequationum in proposita in formam supra: N satisfacit dum vector (A, B, C), quae est nontrivial. Hoc est, quia nulla est ratio determinans.

Aequatio (I) Comperto est, hoc planum est adaequatio rei. III iam re ipsa vadit et reprehendo suus 'securus. Ad hec determinatio per elementorum ordo impendo. Sequitur quod ista determinatio De proprietatibus nostram existentium producta secat planum eodem tempore tres punctum primum proprietates iam antea (x,, y,, z '), (x ", y", z "), (x ‴, ‴ y, z ‴). Placuit itaque nobis de cura pro nobis.

Dihedral angle inter bina Plana jacentibus

Figuram geometricam medietatem spatii duabus dihedral angulum planorum manant directum. In aliis verbis, quae continetur in media pars spatio planorum fundamentalium.

Planum est nos habere putant duas sequentes aequationes:

Scimus vector N = (A, B, C) et N¹ = (à¹, H¹, S¹) plana secundum opera praedeterminatae ad perpendiculum incidunt. Qua in parte iacent, angulus φ vector inter N et N¹ aequalis, aequalis (dihedral), quae sita est ab iisdem planis. Definiendis diapente in a uber est:

NN¹ = | N¹ || N | cos φ,

quia pressius

cosφ = NN¹ / | N¹ || N | = (AA¹ VV¹ SS¹ + +) / ((√ (h m + + A² V²)) * (√ (à¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Est autem considerandum quod satis 0≤φ≤π.

In actu igitur duo plana se mutuo secabunt, forma angulares duas supraque (dihedral) φ φ _I et _II. Quorum summa pars = π _(I φ = π + φ _II). Ut pro cosinuum, quorum valores aequales sunt absoluta, sed alia signa sunt, id est, φ _II -COS cos φ = _I. Si in aequatione (0) substituitur textu A, B et C est A, B et C respectively, aequatione adipiscimur, determinare autem ad idem planum est, tantum in aequationem cos φ angulum φ = nn ^I / | ^I N || N | Hoc non-π substitui debet φ.

Planum perpendiculare aequatio

Planum perpendicularis, quorum angulus XC gradus. Using the materiam superius, nos non invenire aequationem ad alterum planum perpendiculares. Sint enim duo plana: + Ax By Cz + + D = 0 et + + + D = 0 A¹h V¹u S¹z. Possumus enim dicere, quod si orthogonales reuocetur, cos = 0. Et hoc est quod NN¹ AA¹ + = + = 0 VV¹ SS¹.

Aequatio planum in parallel

Hoc refertur ad duo plana parallela agentium qui non habet puncta in communi.

Conditio ex planis parallelis (aequationibus in eadem paragrapho) N quod vector N¹ quae normalium, ctum. Et hoc est ratione proportionalitatis quod inveniantur condiciones quae sequuntur:

A / B ๠= / = C H¹ / S¹.

Si proportionalem designatae sunt expanded - A / ๠= B / C H¹ = / = S¹ DD¹,

hoc planum notitia indicat ut eiusdem. + + Ax By Cz id quod equation + D = 0 et + + + A¹h V¹u S¹z й = 0 est planum describere.

Distantiae a puncto A ad planum

Putant habemus planum P, quae a (0). Non necesse est invenire coordinatae sunt distantiae a puncto (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Vos postulo ut producat species aequatio inter planum normalis II ad eam:

(Ρ, v) = p (r≥0).

In hoc casu ρ (x, y, z) est radius vector nostrae puncto Q, sita supra n p - n sit ad longitudinem perpendiculi, qui erat dimissi ab nulla parte, v - sit unitas Vector, quae disposita in directionem ad.

Differentia ρ, ρº radio vectore de puncto Q = (x, y, z), ad n, et radio vectore de datum punctum Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) est ut vector, quam magnitudo absoluta ipsius in proiectura de quibus supra v spatium aequale d, quam e necessarium ut Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ad P,

= D | (ρ ρ, ^0, v) | sed

(Ρ ρ, ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p ^{(0 ρ,} v).

Et sic vertit,

d = | ^{(0 ρ,} v) p |.

Nunc patet quod ratio distantiae d ab ₀ ad Q planum P, est necessarium ad normalis sententia planum equation et subcinctus ad sinistram autem p, atque in novissimo loco x, y, z substituat (hₒ, uₒ, zₒ).

Et sic, invenimus valorem absolutum et per consequens, quod non requiritur expressio d.

Verbis uti parametri, ut obvious ut sunt:

d = | Ahₒ Vuₒ Czₒ + + | / √ (A² V² + + h m).

Si certum sit ₀ Q plani P hinc originem Inter vector ρ ^ρ-0 v angulo obtuso ita

d = - (ρ ρ, ^0, v) = ^{(0 ρ,} v) -p> 0.

In casu, ubi punctum ₀ Q sita in conjunction per originem ex eadem parte U, acutus angulus sit creatum, hoc est,

d = (ρ ρ, ^0, v) = p - ^{(0 ρ,} v)> 0.

Quo fit ut quae in priore casu ^{(0 ρ,} v)> p, in secundo ^{(0 ρ,} v)

Et planum tangens ejus equation

De superficies in planum ad punctum contingentie Mº - a continet omnia, planum esse superficiem curvam tangit in puncto, quod per instructa.

Et superficies huius aequationis formam F (x, y, z) = 0 aequatio ad quarti ordinis in puncto plani tangentis Mº (hº, uº, zº) esset:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) _x + F (hº, uº, zº) (y uº) _x + F (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Si superficies est profectus expressis verbis z = f (x, y), tunc plani descriptus est per aequationem

zº-z = f (hº, uº) (hº x) f + (hº, uº) (y uº).

Intersectio duorum planorum

In tres dimensionis est de prima philosophia (Rectangle) Oxyz, datis duobus planis P 'P et, quae overlap, nec coincidunt. Quia si planum, in quo est quadrangula rectangula de prima philosophia est determinatum ex generali aequatione ponamus n et n 'dicuntur ex aequationibus deducendas A'x + + + V'u S'z D, atque A = 0 "+ B x, y + in «z + D '= 0. Hic habemus normalis n, (A ', B', C ') P in planum, et ad normalem n "(A", B ", C") ad planum P. Ut planum nostrum non est simile nec coincidant, illa ctum non vector. Using the language of mathematica, habebimus hanc condicionem posse scriptum est: n, ≠ n "↔ (A ', B', C ') ≠ (λ * Et", λ * In "λ * C"), λεR. K Recla enim linea intersectionis P quae iacet et P ", et per hoc autem litteris, in hoc casu sit = P 'P ∩".

et - a linea constans ex pluribus punctis constituta (communis) planum P et P ". Et hoc est quod de quolibet puncto inter coordinatas linea quae est a, eodem tempore necesse satiat equation A'x + + + V'u S'z D, atque A = 0 «x + B, C + y« z + D '= 0. Hoc est, ut coordinatae puncti fiet in eo solutio particularis locum sequentes aequationes:

Ita fit, ut solutionem (overall) huius systematis aequationum erit determinare coordinatae inter se de puncta in linea, qui te agere quod punctum intersectionis P et P ", transgressiones et alia malefacta recta in de prima philosophia Oxyz (Rectangle) spatium.